GEOMETRÍA PARA TODOS

GEOMETRÍA SEGUNDO CICLO BÁSICO

1.- DEFINICIONES

a) Rectas, segmentos y Semirrecta.

b) Clasificación de ángulos.

c) Tri, Cuadri, Penta, hexa, hepta, octa.

d) Clasificación de triángulos Según lados y según ángulos.

e) Cuadriláteros: PARALELOGRAMOS, TRAPECIOS y TRAPEZOIDES.

f) Elementos de polígonos.

Circunferencias.

EVALUACIÓN

Presentaciones  slideshare

ÁREAS Y PERÍMETROS DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS ELEMENTALES

LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO 

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO 2

GEO TANGRAM 

TRAZADOS GEOMÉTRICOS

GEOMETRÍA - TABLA DE CONTENIDOS

GEO geo

2.- GEOMETRÍA INTERACTIVA

3.- Cálculos de PERÍMETROS

4.- CÁLCULOS DE ÁREAS

5.-TEOREMA DE PITÁGORAS

6.- FIGURAS PLANAS

6.1.- JUEGO : Haz clic sobre las figuras que se indican, tienes poco tiempo.

7.- LONGITUDES

8.- TODO EN UNO: Enteros - Fracciones - GEOMETRÍA - Otros (Reloj - medidas - gráficos, etc.)

9- RECTAS Y ÁNGULOS

Clasificación de las figuras y cuerpos geométricos
Figuras geométricas	Polígonos Nombre según los lados 3-Triángulo 4-Cuadrilátero 5-Pentágono 6-Hexágono 7-Heptágono 8-Octógono 9-Eneágono 10-Decágono 11-Endecágono 12-Dodecágono 13-Tridecágono 14-Tetradecágono 15-Pentadecágono De más lados se nombran como polígonos de n lados Se denominan polígonos regulares si tienen todos los ángulos y lados iguales.	Triángulos	Según los lados	Equilátero
				Isósceles
				Escaleno
			Según los ángulos	Acutángulo
				Rectángulo
				Obtusángulo
		Cuadriláteros	Paralelogramo	Cuadrado
				Rectángulo
				Rombo
				Romboide
			Trapecio	isósceles
				escaleno
				rectángulo
			Trapezoide
	Cónicas	Circunferencia
		Parábola
		Elipse
		Hipérbola

Cuerpos Geométricos	Poliedros Nombre según las caras 4-Tetraedro 5-Pentaedro 6-Hexaedro 7-Heptaedro 8-Octaedro 9-Eneadero 10-Decaedro 11-Endecaedro 12-Dodecaedro 13-Tridecaedro 14-Tetradecaedro 15-Pentadecaedro De más lados se nombran como poliedro de n lados Se denominan poliedros regulares si tienen todos los ángulos y lados iguales. Poliedros	Según las cualidades de las estructuras que los componen	Prismas
			Paralelepípedos
			Pirámides
		Poliedro regulares	Tetraedro regular
			Hexaedro regular Cubo
			Octaedro regular
			Dodecaedro regular
			Icosaedro regular
	Cuerpos redondos	Cilindro
		Cono
		Esfera

Elementos del triángulo

El triángulo es el polígono más simple y también el más fundamental, ya que cualquier polígono puede

resolverse en triángulos; por ejemplo, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o,

más en general, uniendo todos los vértices con un mismo punto interior al polígono.

Un triángulo tiene elementos primarios y elementos secundarios.

Los elementos primarios corresponden a:   los vértices, lados, ángulos interiores y ángulos exteriores.

Los elementos secundarios corresponden a:  la altura, bisectriz, simetral, transversal de gravedad y mediana.

Elementos primarios de un triángulo

Vértices:  Son los puntos de origen de los segmentos.    Se nombran con tetras mayúsculas: A, B, C ... Z.

Lados:    Son los segmentos de la poligonal. Se designan por las dos letras

              de sus extremos coronadas por un pequeño trazo:

AB, BC, CA, XY, YZ   o por una letra minúscula (a, b, c) que corresponde a la letra que nombra el vértice opuesto (A, B, C).

Ángulos interiores:

Son aquellos formados por cada par de lados consecutivos del triángulo. Se denominan por las tres letras mayúsculas de los vértices o por una letra griega ubicada entre los lados del ángulo.

En los problemas se usan las últimas letras del alfabeto en minúscula para designar incógnitas.

Ángulos exteriores:

Son los ángulos formados por un lado del triángulo y la prolongación de otro hacia la región exterior. Se nombran generalmente por la letra del ángulo interior adyacente con un subíndice.

Elementos secundarios de un triángulo

Las líneas notables del triángulo o sus elementos secundarios son:

alturas (h)  bisectrices (b)  simetrales (s)   transversales de gravedad (t) medianas

Alturas:

Son segmentos perpendiculares (segmentos que forman ángulos de 90º) a un lado o a su prolongación

desde el vértice opuesto. La altura se designa con la letra h y un subíndice que señala el lado del

cual se levanta.  Un triángulo tiene tres alturas, una por cada lado (ha, hb, hc).

El punto O donde concurren las tres alturas se llama Ortocentro (O).

El lado y su altura forman un ángulo de 90º.

Bisectrices

Es la recta que  dimidia un ángulo; es decir, es la recta que divide un ángulo en su mitad.

 Un triángulo tiene 3 bisectrices, uno por cada ángulo y se designan normalmente por la letra b 

y un subíndice que señala el respectivo ángulo interior.

El punto O donde concurren las tres bisectrices se llama incentro. El incentro corresponde al

centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Simetrales o Mediatrices

Corresponden a rectas perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo en su punto medio.

Las tres simetrales se cortan en un punto llamado (O) circuncentro. La circunferencia pasa por

los tres vértices.

Siempre debe tenerse en cuenta que:

Si existe una simetral, existe un ángulo recto y un punto medio.

La simetral no siempre pasa por el vértice opuesto.

En todo triángulo se puede circunscribir una circunferencia cuyo centro es el circuncentro.

Transversales de gravedad

Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene

tres transversales de gravedad, una por cada lado y se designan normalmente con la letra t y un

subíndice que señala el lado (ta,  tb, tc ).

El punto donde se intersectan las tres simetrales se llama baricentro y se representa con la letra G.

Medianas

Son los segmentos que unen directamente los puntos medios de dos lados del triángulo, de dos en dos.

La mediana se designa con la letra m y un subíndice que indica el lado sobre el cual se proyecta.

La mediana tiene una longitud igual a la mitad del lado paralelo.

FD  =  ½ AC;      DE  =  ½ AB;     EF  =  ½ CB

Al trazar las tres medianas de un triángulo, éste queda dividido en cuatro triángulos congruentes.

Elementos de la circunferencia y del círculo

Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo punto llamado centro de la circunferencia. El punto centro no pertenece a la circunferencia. La circunferencia  se nombra con la letra  del centro y  un radio.

Círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior

Ejemplos prácticos de una circunferencia: Aro, anillo, hula-hula, borde de vaso, la orilla de un plato,  etc.

Perímetro de la circunferencia:      2 p · r                p · d  

Elementos de la circunferencia

Rectas en la circunferencia

Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia  con cualquier punto de ella. El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos. La medida del radio es constante.

Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de mayor medida. El diámetro se nombra con la letra “d”. El diámetro siempre es el doble  del radio: d = 2r       r = d/2 .

Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.

Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.

Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

Ángulos en una circunferencia

Ángulo del centro: Es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios de ella.

Figura	Características	Medida
	Vértice en el centro de la circunferencia Lados que contienen radios de ella	m (< AOB) = m (arco AB)

Ejemplo:

(Debe leerse: arco SR es igual a un tercio de la circunferencia. Calcular el ángulo X))

Por definición del Teorema del ángulo del centro la medida del arco SR es igual a la medida del ángulo del centro (x). Como la circunferencia en el sistema sexagesimal tiene 360º significa que el arco SR mide 1/3 de 360º, esto es dividir 360 en 3 partes y tomar 1 sola.

                      360º  :  3  =  120º              < SOR =  120º

Ángulo Inscrito: Es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de ella. Para todo ángulo inscrito, existe un ángulo del centro que subtiende el mismo arco. El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.

Figura	Características	Medida
	< ABC inscrito que subtiende arco AC < AOC del centro que subtiende arco AC Vértice en la circunferencia. Los lados son cuerdas de ella. <  ABC subtiende arco AC. El centro de la circunferencia está en el interior del ángulo.	m ( <ABC) = ½ m (<AOC) (Debe leerse: medida del ángulo (ABC) es igual a la mitad del ángulo (AOC)

   Ejemplo:

Si ángulo y es igual a 54 grados Entonces ¿cuánto mide el ángulo x ? El ángulo “y” es un ángulo del centro; el ángulo “x” es un ángulo inscrito que subtiende un arco común con el ángulo del centro (AB), por lo tanto, se debe aplicar el Teorema del ángulo inscrito. Por Teorema:  x  =  1/2  y       x  = 1/2   ·  54  =  54/2  =  27º

Caso Especial:                       

Si un ángulo inscrito subtiende una semicircunferencia, entonces es recto. α = 180º                           β  =  90º

CIRCULO O REGION CIRCULAR:  Es todo el espacio interior encerrado por una circunferencia..

REPRESENTACIONES MATERIALES DEL CIRCULO: Disco, plato, fondo de vaso, tapa de tarro, CD, etc

AREA DEL CIRCULO:       p · r²

Elementos del círculo

Segmento circular: es cada una de las partes en que se divide un círculo cuando se traza una cuerda (A - B). Si la cuerda es un diámetro, cada parte será un semicírculo.

Sector circular: es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco.

Corona circular: es la porción del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas.